El testamento matemático de Évariste Galois, muerto en 1832 tras un duelo con pistolas, fue elaborado la última noche de su vida, llena de coraje porque tenía que asumir su muerte con solo 20 años. Escribió una carta que revolucionó las matemáticas, fue básica para el desarrollo de la mecánica cuántica y ayudó a descubrir la estructura subyacente del universo. Internet, los móviles y el GPS están en deuda con aquel genio adolescente incomprendido.
Hace ahora 190 años, poco antes del amanecer del 30 de mayo de 1832, al joven Évariste Galois se le acabó el tiempo. Había empezado la noche escribiendo 2 cartas. En la primera se despedía de sus amigos. En la segunda hacía una encendida defensa de sus avanzadas convicciones republicanas y progresistas.
Lo más normal es que ambas misivas se hubieran perdido para siempre en el pozo común del olvido. Pero Alejandro Dumas, el gran novelista, admiraba las ideas avanzadas del joven Galois y compiló una crónica de sus últimas horas.
Pasada ya la media noche Évariste Galois empezó a escribir febrilmente una tercera carta dirigida a su conocido Auguste Chevalier.
Galois estaba seguro de que iba a morir al día siguiente. Unas horas antes Pescheux d’Herbinville, campeón de esgrima y tirador de élite con armas cortas del ejército francés, le había retado a un duelo a muerte. El militar d’Herbinville, un hombre extremadamente celoso, monárquico, reaccionario y -según muchos de sus conocidos- corto de entendederas, creía que Galois había cortejado a la hija de un médico que él pretendía.
A la salida del Sol
Acababa de salir el Sol cuando un campesino de camino al mercado del distrito 13 de París oyó un disparo. Al acercarse al lugar de donde provenía el sonido, el campesino encontró al joven Galois desangrándose con un tiro en el vientre. Tenía 20 años cuando d’Herbinville acabó con su vida. Tras el duelo, el militar se presentó orgulloso ante su gran amor. Por lo visto, con muy buen criterio, la hija del galeno no quiso volver a saber nada más de semejante animal.
Días después, el buen Auguste Chevalier recibió la última carta que le escribió Galois antes de morir. Pero fue incapaz de entenderla. No era de extrañar. Estaba llena de símbolos matemáticos que le resultaron totalmente incomprensibles. Tan solo comprendió el último párrafo:
"Todo lo que he anotado aquí está totalmente claro en mi mente y no quisiera quedar expuesto a la sospecha de que proclamo teoremas de los cuales no tengo una prueba completa. Hay algunas cosas que quedan por rematar en esta teoría. Pero ya no tengo el tiempo. Haz una petición pública a los matemáticos para que den su opinión, no sobre la verdad de su contenido, de la que estoy absolutamente seguro, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío en que algún hombre encuentre provecho al organizar todo este embrollo. Ahora necesito de todo mi coraje para morir a los 20 años”.
Vida fecunda
Sin duda Évariste Galois, que no era creyente, ni amigo de duelos o peleas, ni sabía usar una pistola, necesitó un enorme coraje para comparecer en el campo del honor.
Pero su corta vida no resultó estéril. De hecho, la última carta que escribió cambió la Historia. Nos permitió entender bien cuál es la esencia de nuestro mundo e hizo que nuestra vida cotidiana fuese mucho mejor.
La última carta de Galois le aseguró que su memoria jamás se olvidará mientras haya seres humanos que estudien matemáticas.
De hecho, varios científicos han defendido que la última misiva de Galois es quizás la carta más importante escrita jamás por un ser humano. Y no precisamente por la diligencia con que Auguste Chevalier cumplió las instrucciones de su amigo. Chevalier, que por lo visto nunca fue un hombre despierto, esperó más de 20 años (hasta 1843) para entregar la carta póstuma de Évariste Galois al matemático Joseph Liouville.
Nada más leerla, Liouville se dio cuenta de que la aportación póstuma de Évariste Galois a las matemáticas era una de las más originales y revolucionarias de todos los tiempos.
Nueva simetría
La idea esencial contenida en la carta de Galois es una forma radicalmente diferente de entender la simetría. Évariste Galois fue el primer ser humano en darse cuenta de un hecho esencial: la simetría no es una propiedad de las cosas (como se pensaba hasta entonces), sino que es algo que se le hace a las formas o a las estructuras.
Para entenderlo fácilmente toma un objeto, por ejemplo tu cartera, tu DNI o tu móvil. Yo me decido por tomar mi cartera, comprada hace años a una artesana en Cádiz. Para estudiar sus simetrías, dibujo cuidadosamente en un papel su contorno. Resulta ser un cuadrado perfecto de 8,5 cm de lado.
Las simetrías son las diferentes formas en que puedo levantar la cartera y volver a colocarla dentro del dibujo de su contorno, sin que salga nada por fuera. Por ejemplo, podría rotarla 90 grados y tras ello seguiría encajando perfectamente dentro de su contorno. También podría darle la vuelta. Bocabajo también encajaría exactamente en el dibujo original de su contorno. Si analizo detenidamente todas y cada una de las posibilidades, compruebo que mi cartera cuadrada tiene 8 simetrías diferentes.
La genialidad de Galois estuvo en darse cuenta de que no era suficiente identificar las simetrías individuales (como se había hecho hasta entonces), sino que lo verdaderamente importante era cómo interactúan estas diferentes simetrías entre si. Galois estaba convencido de que la esencia del problema es el orden en el que efectuamos las simetrías.
Grupo de permutaciones
Si me fijo bien en mi cartera puedo observar la pequeña firma de la artesana que la construyó marcada en el cuero de su cara trasera. Y puedo comprobar que si giro mi cartera 90º y luego le doy la vuelta, la firma de la artesana termina en una posición diferente de la que lo hace si primero le doy la vuelta y luego la giro 90º. Galois tenía razón.
En su última noche, mientras reflexionaba sobre cómo las diferentes simetrías de un objeto interactúan entre sí, la portentosa mente de Évariste Galois fue capaz de desarrollar el extraordinario concepto de grupo de permutaciones, que acabaría por convertirse en una de las más importantes ramas del álgebra abstracta.
Poco antes de morir Galois se dio cuenta de que en esta maravillosa idea sobre el grupo de permutaciones de simetría estaba buena parte de la esencia que explicaba cómo está construido nuestro mundo.
Por ejemplo, en el mundo abstracto de las matemáticas, las ecuaciones algebraicas tienen una simetría subyacente. La mayoría de los lectores recordará que la solución a la ecuación X elevado al cuadrado = 9 es 3; porque 3 elevado al cuadrado es igual a 3 x 3 = 9. Pero hay otra solución simétrica para esta ecuación, que es X = -3, porque (-3) elevado al cuadrado es igual a (-3) x (-3) = 9. Puede parecer una trivialidad. Pero la trascendencia de esta idea es descomunal.
Partículas ocultas
Así, en 1926 cuando Eugene Paul Wigner, un físico y matemático húngaro ganador del premio Nobel, trabajaba en teoría cuántica, decidió utilizar las ideas de simetría sobre grupos de permutaciones contenidas en la última carta de Galois.
Tras un arduo trabajo comprobó que las matemáticas de los grupos de simetría de Galois no solo servían para describir con precisión las partículas subatómicas conocidas, sino que además permitían predecir la existencia de partículas que nadie había visto todavía, pero que las matemáticas de Galois predicen que tienen que existir.
Muchas décadas más adelante, los aceleradores de partículas como el Gran Colisionador de Hadrones se diseñaron basándose en las ideas contenidas en la última carta de Galois.
En palabras de la Dra. Tara Shears, la primera mujer en conseguir una Cátedra de Física en la Universidad de Liverpool, donde investiga las propiedades de los quarks utilizando colisionadores de hadrones: Cuando tratamos de describir las fuerzas esenciales que mantienen unida la materia, como el electromagnetismo o el decaimiento radiactivo, en principio parecen muy, pero muy diferentes. Sin embargo, cuando describimos su acción usando las matemáticas de Galois, ocurre algo particularmente hermoso, pues su comportamiento es increíblemente similar. Eso indica que hay una profunda estructura subyacente en el Universo. Es algo maravilloso, un regalo y una manera magnífica de ver y describir el Universo”.
Numerosas aplicaciones
El avance de la Física nos permitió saber que el Universo visible está formado por 12 partículas diferentes, unidas por 4 fuerzas fundamentales. Un logro impresionante que tal vez es el mayor logro conseguido por la humanidad. En buena parte se lo debemos a lo que la mente de Évariste Galois pergeñó durante unas pocas horas en la última noche de su vida.
Para los más pragmáticos también vale la pena indicar que la teoría de grupos de permutaciones de simetría de Galois tiene numerosas aplicaciones en el mundo tecnológico actual. Por ejemplo, resultó esencial para desarrollar la CDMA (Code Division Multiple Access) utilizada en los sistemas de navegación GPS y GLONASS. Móviles, navegadores, comunicaciones, Internet,y un largo etc. están en deuda con la última carta de Évariste Galois.
Quienes se sientan mucho más motivados por sus percepciones artísticas que por las matemáticas, deberían saber que las ideas contenidas en la última carta de Galois también ayudan a explicar muchas de las cumbres del arte humano.
Por ejemplo, la singularidad artística de los interiores de la Alhambra de Granada, cumbre del arte Nazarí, se basa en los extremadamente sofisticados patrones decorativos simétricos que parecen tremendamente diferentes entre sí, lo que llevó a exclamar a uno de los más reputados expertos en el arte Andalusí que “la Alhambra es tan diversa que no hay dos paredes con un patrón que resulte siquiera remotamente parecido”. Nada más lejos de la realidad. En toda la Alhambra apenas hay 17 diseños simétricos diferentes, eso sí elaborados siguiendo una estructura de grupo de permutaciones de simetría de Galois.
Matemático joven
Évariste Galois tuvo una vida corta y el destino no le fue favorable. Su padre, un estudioso de las letras clásicas, le impidió asistir al colegio. Solo quería que su hijo recibiese una formación clásica en latín y griego. Quizás esto convirtió al joven Galois en un orador brillante que encandiló, con su encendida defensa de las ideas progresistas, al gran novelista Alejandro Dumas (gracias a cuyo testimonio sabemos algo sobre su vida).
Pero hizo que Galois estableciese contacto por primera vez con las matemáticas cuando ya tenía 15 años y por lo visto con no muy buen pie. Su profesor escribió: "no sabe absolutamente nada. Me habían dicho que este estudiante tenía una gran capacidad, lo que me asombra enormemente, porque a mí me pareció muy poco inteligente”. Galois también fue rechazado dos veces cuando intentó entrar en la École Polytechnique.
A pesar de lo que pensaran de él, su talento matemático le llevó a enviar de adolescente su primer trabajo sobre teoría de grupos a Jean-Baptiste Fourier, secretario de la Academia de Ciencias de París. Desafortunadamente Fourier enfermó gravemente y murió.
Pese a todo… ¿Qué no hubiese conseguido Évarist Galois si Pescheux d’Herbinville -a quien Dumas caracterizó entre otras lindezas de patriota irracional, militar ignorante, fanático, conservador, monárquico atrasado, misógino y patológicamente celoso- no lo hubiese matado en ese aciago amanecer del 30 de mayo de 1832?
En la cumbre del pensamiento
Recordemos a Galois, Agradezcamos su talento. Y abominemos de quienes como d’Herbinville se sienten orgullosos de verse reflejados en los adjetivos del gran Alejandro Dumas.
Y recordemos que los matemáticos como Galois son personas capaces de alcanzar las más altas cumbres del pensamiento.
Una anécdota ilustra muy bien todo esto. Durante la Segunda Guerra Mundial, los norteamericanos estaban muy preocupados por las ingentes pérdidas que los nazis ocasionaban a sus aviones de bombardeo. Reunieron a una comisión para estudiar el problema. Los ingenieros decidieron mejorar el blindaje de los aviones. Pero solo se podía hacer en algunas partes para no aumentar su peso. Comprobaron que la mayoría de los aviones resultaban dañados en determinadas áreas del fuselaje, pero casi nunca en los motores. Concluyeron que había que reforzar esas áreas que sufrían más impactos.
Por suerte, en la comisión estaba un matemático del grupo de Paul Wigner que curiosamente trabajaba desarrollando las ideas originales de Galois. Su solución fue la contraria. No había que blindar las zonas con más impactos, sino las que tenían menos. Los aviones con muchos impactos en el fuselaje conseguían volver a la base. Pero los que sufrían impacto en los motores no, y por eso había tan pocos aviones con impactos en los motores.
