El cub de GESA i un problema de vint-i-cinc segles

Hi ha notícies que, sense proposar-s’ho, desperten idees inesperades. Fa uns dies hem conegut el projecte que l’Ajuntament de Palma preveu desenvolupar a l’edifici de GESA, una de les construccions més emblemàtiques de la façana marítima de la ciutat. Sigui quin sigui el seu futur, la seva silueta continuarà essent inconfusible. És un edifici que, per les seves proporcions, recorda un gran cub. I això, per als qui sentim una certa debilitat per les matemàtiques, és una invitació irresistible a parlar d’un dels problemes més famosos de la història de la geometria.

Els grecs en concret i els jueus en menys contundència, no cercaven únicament respostes. Cercaven bellesa. Per això imposaren una condició que avui encara sorprèn: qualsevol construcció geomètrica havia de fer-se exclusivament amb una regla i un compàs. Amb aquestes dues eines varen plantejar tres desafiaments que resistiren els millors matemàtics durant més de dos mil anys: la quadratura del cercle, la trisecció d’un angle qualsevol i la duplicació del cub. De fet, aquest tercer repte va sorgir quan a l’oracle de Delos, els sacerdots interpretaren que aquest era el desig de les divinitats. Conta la llegenda que una pesta assolava la població i que l’oracle d’Apol·lo va ordenar duplicar el volum del seu altar, que era cúbic (com el Sancta Sanctorum del temple de Salomó). Un problema que, d’entrada, semblava ben innocent. Els habitants duplicaren les dimensions de l’altar pensant que així complirien el mandat diví. Quan acabaren descobriren que, en lloc de duplicar-lo, l’havien fet vuit vegades més gran. Potser la història és només un relat simbòlic, però resumeix perfectament la dificultat matemàtica. I és que si tenim un cub d’un metre de costat, duplicant aquest aconseguim un cub de dos metres de costat, que ocupa vuit vegades més espai que el primer, d’un metre. La cosa és que, per duplicar el volum, el nou costat hauria de mesurar l’arrel cúbica de dos, una longitud impossible de construir només amb regla i compàs.

No menys famosa fou la quadratura del cercle. Es tractava de construir un quadrat amb la mateixa superfície que un cercle donat. Durant segles semblava un objectiu perfectament raonable. Avui sabem que això exigiria construir exactament el nombre π, i aquest és un nombre impossible d’obtenir mitjançant les construccions clàssiques.

La tercera gran obsessió dels geòmetres fou dividir qualsevol angle en tres parts iguals. Alguns angles concrets sí que ho permeten, però no tots. També aquí les limitacions de la regla i el compàs acabaren imposant-se.

Resulta admirable pensar que aquests tres problemes començaren a estudiar-se ja en el segle V abans de Crist. Hipòcrates de Quios, Arquites, Menecme, Euclides, Arquimedes o Apol·loni hi dedicaren esforços immensos. Durant vint-i-cinc segles ningú no pogué demostrar si eren possibles o impossibles.

La resposta definitiva arribà molt tard. L’any 1837 el matemàtic francès Pierre Wantzel demostrà la impossibilitat general de la duplicació del cub i de la trisecció d’un angle amb regla i compàs. Uns anys més tard, el 1882, Ferdinand von Lindemann deixà resolta també la quadratura del cercle. Aquells problemes que havien fascinat generacions senceres quedaven definitivament tancats. No tenien solució. La cerca havia acabat. Ara bé, el més interessant no és que no tenguessin solució, sinó tot allò que es va aprendre mentre s’intentaven resoldre. Bona part de la geometria, de l’àlgebra moderna i fins i tot de la teoria dels nombres deuen molt a aquests fracassos aparentment estèrils. La història de la ciència està plena d’exemples semblants: preguntes que no obtenen la resposta esperada, però que obren camins molt més fecunds.

Per això, quan els pròxims mesos vegem avançar les obres o els projectes sobre l’edifici de GESA, potser convindrà mirar aquell gran cub de vidre amb uns altres ulls. No només com una peça d’arquitectura moderna, sinó també com el record silenciós d’un problema que va mantenir ocupades les ments més brillants de la humanitat durant més de dos mil cinc-cents anys. De vegades, un edifici és també un llibre d’història. I un simple cub pot contenir molta més matemàtica de la que aparentment deixa veure.

Suscríbete para seguir leyendo